B树

初识 B树

B树 是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现

特点

• 1 个节点可以存储超过 2 个元素、可以拥有超过 2 个子节点
• 拥有二叉搜索树的一些性质（左右大小关系）
• 平衡，每个节点的所有子树高度一致
• 比较矮

m 阶 B树 的性质（m>=2)

m 阶的意思：就是意味着这棵 B树 最多有 m 个子节点，每个节点最多存储 m-1 个元素。

1、假设一个节点存储的元素个数为 x

• 根节点: 1 <= x <= m - 1
• 非根节点: ┌ m/2 ┐ - 1 < x < m - 1
• ┌ m/2 ┐ -- 是向上取整的意思

2、如果有子节点，子节点个数为 y = x + 1

• 根节点: 2 <= y <= m
• 非根节点: ┌ m/2 ┐ <= y <= m
  • 比如 m = 3，2 <= y <= 3，因此可以称为 (2,3) 树、2-3 树
  • 比如 m = 4，2 <= y <= 4，因此可以称为 (2,4) 树、2-3-4 树
  • 比如 m = 5，3 <= y <= 5，因此可以称为 (3,5) 树
  • 比如 m = 6，3 <= y <= 6，因此可以称为 (3,6) 树
  • 比如 m = 7，4 <= y <= 7，因此可以称为 (4,7) 树

4 阶 B树 如下图所示

数据库实现中一般用【几阶B树】？

一般是 200 ~ 300

思考：如果 m = 2，那【B树】是什么样子的？

B树 VS 二叉搜索树

1. B树 和 二又搜索树，在逻辑上是等价的（只不过是【B树】一个节点融合了多个元素）

2. 多代节点合并，可以获得一个超级节点

   • 2 代合并的超级节点，最多拥有 4 个子节点（至少是 4阶B树）
   • 3 代合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点（至少是 8阶B树）
   • n 代合并的超级节点，最多拥有 (2^n) 个子节点（至少是 2^n 阶B树）

3. m阶B树，最多需要 log2(m) 代合并

二叉搜索树

B树

搜索

1. 先在节点内部从小到大开始搜索
2. 元素如果命中，搜索结束
3. 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤 1

添加

上溢现象

当在【B树】中添加元素时，可能会导致上溢（Overflow）情况，即节点中的关键字个数超过了节点的容量。

上溢的解决

1. 上溢节点的元素个数必然等于 m。

2. 假设上溢节点最中间元素的位置为 k

   • 将 k 位置的元素向上与父节点合并
   • 将 [0, k-1] 和 [k+1, m-1] 位置的元素分裂成 2 个子节点
     • 这 2 个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制 (┌ m/2 ┐ - 1)

3. 一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决

   • 最极端的情况，有可能一直分裂到根节点

具体如下图所示

插入元素分析

删除

删除 - 叶子节点

假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可。

删除 - 非叶子节点

假如需要删除的元素在非叶子节点中

1. 先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值

2. 再把前驱或后继元素删除

如下图示：

• 非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中
• 所以这里的删除前驱或后继元素，就是最开始提到的情况: 删除的元素在叶子节点中

下溢现象

• 叶子节点被删掉一个元素后，元素个数可能会低于最低限制(┌ m/2 ┐ - 1)
• 这种现象称为：下溢（underflow）

下溢的解决

1. 下溢节点的元素数量必然等于 ┌ m/2 ┐ - 2

2. 如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少 ┌ m/2 ┐ 个元素，可以向其借一个元素

   • 将父节点的元素 b 插入到下溢节点的 0 位置(最小位置)
   • 用兄弟节点的元素 a (最大的元素) 替代父节点的元素 b
   • 这种操作其实就是：旋转

3. 如果下溢节点临近的兄弟节点，只有 ┌ m/2 ┐ - 1 个元素

   • 将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并

   • 合并后的节点元素个数等于 ┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ - 2，不超过 m - 1

   • 这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播，最坏的情况是一直到根节点下溢

根节点下溢怎么办？

这个时候根节点必然是：

• 根节点所有东西跟它底下子节点合并成新的根节点。
• 此时树会变矮，少掉一层

4阶B树

4阶B树的性质

1. 所有节点能存储的元素个数 x: 1 <= x <= 3
2. 所有非叶子节点的子节点个数 y: 2 <= y <= 4

思考

从 1 添加到 22，从 1 删除到 22 的情况。

可通过该网站查看流程细节：B-Tree Visualization (usfca.edu) (opens new window)